Si la recta corta al eje, el hiperboloide hiperbólico se materializa en un cono; si es paralela a él, en un cilindro.
Todas las rectas del hiperboloide son paralelas a las de un cono; por lo tanto, se considera el hiperboloide hiperbólico una superficie de cono director.
- Hiperboloide hiperbólico. Generación
- Hiperboloide hiperbólico. Contorno aparente
- Punto en hiperboloide
- Intersección de hiperboloide y plano
- Sombras propia, arrojada y autoarrojada del hiperboloide
08.1. Hiperboloide hiperbólico. Generación
Se representa aquí un tramo de hiperboloide hiperbólico limitado por dos secciones horizontales (circunferencias). Este está definido por un segmento de recta (generatriz) que se cruza con el eje; sin embargo, el simétrico de dicho segmento define también el mismo hiperboloide. Así pues, el hiperboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada, con dos familias de generatrices, como ocurría con el paraboloide hiperbólico.
El plano, el paraboloide hiperbólico y el hiperboloide hiperbólico son las tres únicas superficies doblemente regladas.
Puntos de control:
- R: radio de la base
- r,a,h: generatriz (radio, acimut, inclinación)
- O'1, O'2: Origen familias de generatrices
En esta figura se ha determinado el contorno aparente del hiperboloide. Dicho contorno es, en proyección vertical, una hipérbola; y en horizontal, la circunferencia mínima directriz o garganta.
La determinación de esta última es sumamente sencilla; basta con hallar en proyección horizontal la mínima distancia del eje a la generatriz, que evidentemente es la perpendicular a esta por la traza de aquel; este será el radio de la circunferencia que buscamos, a la cual serán tangentes todas las generatrices.
Para determinar la posición de la garganta en alzado, basta trasladar este punto de tangencia a la generatriz en proyección vertical. Por ella pasará un segmento horizontal que será la proyección vertical de la garganta; además, los extremos de este son los vértices de la hipérbola del contorno aparente vertical; y su punto medio, el vértice.
La determinación del resto del contorno aparente vertical consiste en hallar los puntos en los que el plano del contorno aparente (plano frontal que pasa por el eje) corta a las generatrices.
Cualquiera de las generatrices cortará a dicho plano, en planta, en un punto, y será tangente al contorno en el alzado de dicho punto. Las generatrices que sean paralelas en planta al plano frontal lo cortarán en el infinito; y por lo tanto serán las asíntotas de la hipérbola contorno en proyección vertical, así como el contorno aparente de un cono llamado "cono asintótico" del hiperboloide.
Puntos de control:
- R: radio de la base
- O', r,a,h: generatriz (radio, acimut, inclinación)
Se define ahora la situación de un punto en el hiperboloide, dada una de sus trazas. Siendo la traza P' perteneciente a la proyección horizontal del hiperboloide, está contenida en una circunferencia de este. Donde esta circunferencia corta a la tangente a la garganta paralela al plano frontal (ver 04.2.), se determina un punto situado en alzado sobre las asíntotas del contorno. Esto nos permite hallar la cota del punto buscado. Asimismo, donde dicha circunferencia corta al plano frontal que pasa por el eje, se determina un punto situado sobre la hipérbola del contorno aparente; la aplicación de este método, conceptualmente más sencillo, es sin embargo problemática porque obliga a determinar la intersección de recta e hipérbola. Así pues, no se representa aquí, aunque se emplea en la figura 04.5.
Dada la traza Q" perteneciente a la proyección vertical, basta con realizar el inverso del trazado anterior para hallar su proyección horizontal; se traza, por lo tanto, una recta horizontal por la traza; y, donde corte a la asíntota, determinará la circunferencia en planta que contiene la traza horizontal.
Puntos de control:
- R: radio de la base
- O', r,a,h: generatriz (radio, acimut, inclinación)
- P',Q": trazas de puntos
08.4. Intersección de hiperboloide y plano
Se da ahora la intersección del hiperboloide con un plano cualquiera. Dicha sección, obviamente, es el lugar geométrico de las intersecciones de las rectas generatrices con el plano de corte.
La sección plana puede ser de tres tipos: una parábola, si el plano es paralelo a una recta del cono asintótico; una elipse, si su pendiente es inferior a la de este (circunferencia si es nula); y una hipérbola, si su pendiente es superior.
Las secciones de un cono, sobradamente conocidas, verifican esta condición por ser un caso particular de hiperboloide. En general, la sección plana del hiperboloide es una cónica del mismo tipo que la sección plana de su cono director.
Puntos de control:
- R: radio de la base
- O', r,a,h: generatriz (radio, acimut, inclinación)
- P'P",Q'Q",R'R": puntos del plano
Si la tangente a la hipérbola según l’2 es interior, la sombra propia es interior y se corresponderá con una sección por el plano definido por dichos puntos de tangencia, produciéndose la correspondiente sombra arrojada sobre el plano horizontal así como la autoarrojada por la base superior. Esta corresponderá a la intersección de dos cuádricas que tienen en común una sección plana y se completará con otra sección plana que en la posición particular que estamos considerando producirá un plano de canto. Dos de sus puntos se determinan seccionando ambas superficies por un plano horizontal que produce en ambas superficies circunferencias.
Si la sombra propia es exterior, será una sección por un plano de canto. Se pueden hallar dos puntos asimilando la superficie a lo largo de un meridiano al cono tangente y calculando su sombra propia siendo uno el correspondiente a la circunferencia de garganta que será un cilindro. Habrá una sombra autoarrojada interior que corresponderá a la intersección de dos cuádricas que tienen en común una sección plana, y que se completará con otra sección plana que, en la posición particular que estamos considerando, será la que produce un plano de canto definido por los puntos donde comienza la sombra propia calculada y el que arroja el punto más a la izquierda de la base superior.
Puntos de control:
- R: radio de la base
- O', r,a,h: generatriz (radio, acimut, inclinación)
- P": sección horizontal
- z: inclinación de la sombra