Tema 3: Cono

Se denomina superficie cónica a la determinada por el conjunto de rectas (generatrices)  que pasan por los puntos de una curva cerrada (directriz) y concurren en un punto no perteneciente a ella (vértice). Se denomina cono al sólido determinado por una superficie cónica y dos superficies planas, que pueden degenerar en una si se hace coincidir una de ellas con el vértice.

Una superficie cónica se divide en dos ramas separadas por el vértice.
Al igual que en el caso del cilindro, se suele estudiar especialmente el cono de revolución; este, de nuevo, es aquel cuya directriz es una circunferencia perpendicular a las generatrices, lo que le convierte en el resultado de una revolución de la generatriz en torno a un eje que pasa por el centro de la circunferencia y es perpendicular a él. El estudio de este cono es más sencillo, e interesante, que el del cono genérico. Al igual que antes, en geometría descriptiva se suele dar al eje del cono la posición de recta vertical.
  1. Punto en cono
  2. Intersección de cono con plano proyectante vertical
  3. Intersección de cono con plano genérico
  4. Cono: sombras propia y arrojada
  5. Cono: Sombra autoarrojada


03.1. Punto en cono

En este primer ejercicio pretende, dada una de sus proyecciones, obtener un punto del cono. Para esto, tanto si se parte de la planta como del alzado, hay dos procedimientos. Uno de ellos consiste en suponer el punto contenido en una de las generatrices, y definir esta en ambas proyecciones; el otro implica suponerlo contenido en una circunferencia horizontal, y operar análogamente. Si el cono es ilimitado y de dos ramas, en todos los casos hay dos soluciones posibles al problema; de lo contrario, hay dos soluciones al obtener la planta a partir del alzado, y una o dos al obtener el alzado desde la planta.
Puntos de control:
  • P" proyección vertical de un punto
  • Q' proyección horizontal de otro punto
  • r, h, v radio, altura y vértice del cono





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03.2. Intersección de cono con plano proyectante vertical

Dado un plano proyectante vertical definido por su traza vertical, la intersección en alzado con un cono dado será una recta; en verdadera magnitud (y también en proyección horizontal) pertenecerá, en cambio, a una familia de curvas denominadas secciones cónicas, cuyo nombre procede precisamente del hecho de definirse como esta intersección.

Entre dichas curvas se incluye, en primer lugar, la elipse, que es una curva cerrada y se obtiene de la intersección con un plano de pendiente inferior a la de la generatriz. Si el plano pasa por el vértice la elipse degenera en un punto; si es normal al eje, en una circunferencia.

En segundo lugar se halla la parábola, que es una curva abierta de una rama y se obtiene de la intersección con un plano paralelo a la generatriz. Si el plano pasa por el vértice la parábola degenera en una recta.

La tercera de las secciones cónicas es la hipérbola, curva abierta de dos ramas que se obtiene de la intersección con un plano de pendiente superior a la de la generatriz. Si el plano pasa por el vértice la hipérbola degenera en una pareja de rectas.

Puntos de control:
  • A", B" puntos de la traza vertical del plano
  • r, h, v radio, altura y vértice del cono


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03.3. Intersección de cono con plano genérico

Este problema, visto el anterior, carece de particular significación; su mayor complejidad reside en realizar un cambio de plano de proyección que permita ver el plano en cuestión como proyectante. Una vez hallados los puntos de este plano, trasladarlos al alzado original permite ver la curva de la intersección que, tanto en verdadera magnitud como en proyección, es una sección cónica como se ha visto anteriormente. Por ser el cono una figura de revolución, también se podría obtener mediante un giro del plano alrededor del eje del cono, sin necesidad de volver a proyectar este.

Puntos de control:
  • P'P", Q'Q", R'R" puntos que definen el plano
  • r, h, v radio, altura y vértice del cono


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03.4. Cono: Sombras propia y arrojada

Se trata ahora de determinar las sombras propia y arrojada de un cono, que puede tener una o dos ramas. Para ello, basta con hallar la sombra de la tapa sobre el suelo; ya que es paralela al suelo, esto consiste en proyectar el centro de la tapa según la dirección de la sombra y trazar una circunferencia con su radio. Una vez hallada la sombra de la tapa, la sombra de la superficie irá determinada por las tangentes externas o internas (externas si el vértice es exterior al sólido; internas, si está contenido en él) de las circunferencias de la base y de la proyección de la tapa. (Alternativamente, se puede proyectar el vértice y obtener las tangentes a las bases a partir de él, lo que puede resultar más sencillo) Estas rectas resultan ser la proyección de la separatriz de luz y sombra de la sombra propia, que es una generatriz, por lo tanto, que parte del punto de tangencia con la base del cono. En conjunto, el procediiento es prácticamente igual que el visto para el cilindro.

En el caso de que el cono sea de dos ramas, si la pendiente del rayo de luz es superior a la de la generatriz, no hay separatriz de luz y sombra propias; pero la rama superior genera sombra autoarrojada sobre la inferior, que se determina como se verá en el ejercicio siguiente, si bien el resultado no es el mismo. Por este motivo y para una mejor comprensión, en este ejercicio se han representado también todas las sombras autoarrojadas, incluso suponiendo el cono hueco.

Puntos de control:
  • a acimut de la dirección de la luz
  • z inclinación de la dirección de la luz
  • r, h, v radio, altura y vértice del cono


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03.5. Cono: Sombra autoarrojada

Supongamos ahora el cono hueco; en este caso, proyectará sombra autoarrojada sobre su cara interior.

Al igual que en el caso del cilindro, la separatriz de luz y de sombra de la sombra autoarrojada viene definida por los rayos que pasan por el borde del cono, que es una circunferencia, en su intersección con el propio cono; estos rayos forman en sí mismos un cilindro que comparte una circunferencia con el cono; por lo tanto, la intersección de cono y cilindro serán, como en el caso anterior, dos elipses (una de ellas la circunferencia de borde; la otra, la separatriz).

La solución se limita a hallar dicha intersección. Para hallar esta elipse debe considerarse que su semieje mayor viene determinado por la sombra de un punto del borde del cono sobre la cara opuesta, en la sección normal al eje menor de la elipse que contiene el eje del cono, y la sombra, proyectada en sentido contrario, del otro borde sobre la prolongación de la otra cara. El semieje menor se obtiene de la intersección con el cono de un plano horizontal que pase por el punto medio del semieje mayor.

Puntos de control:
  • a acimut de la dirección de la luz
  • z inclinación de la dirección de la luz
  • r, h, v radio, altura y vértice del cono

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