Se llama esfera a la superficie todos cuyos puntos son equidistantes de uno determinado (centro), según una longitud denominada radio. Es la construcción tridimensional análoga a la circunferencia, y sus proyecciones en sistemas de representación ortogonales (axonométrica ortogonal, sistema diédrico) son circunferencias. Asimismo son circunferencias todas las secciones planas de la esfera.
Una esfera es una superficie de revolución en torno a cualquier eje que pase por su centro.
De la misma forma que la circunferencia es un caso particular de la elipse, la esfera es un caso particular del elipsoide (ver tema 4) en el que todos los ejes son iguales. Las construcciones derivadas del elipsoide son generalizaciones de las equivalentes para la esfera.
- Punto en esfera
- Intersección de esfera con plano proyectante vertical
- Intersección de esfera con plano genérico
- Esfera: sombras propia y arrojada
- Esfera: Sombra autoarrojada
- Sombra de la hornacina
04.1. Punto en esfera
En este primer ejercicio pretende, dada una de sus proyecciones, obtener un punto de la esfera. Tanto si el punto está en planta o en alzado, se puede obtener la proyección que falta suponiéndolo contenido en un plano horizontal o frontal; cualquiera de los dos dará una circunferencia en una de las proyecciones, que corresponderá con dos segmentos (uno en cada hemisferio) en la otra.
El problema siempre tiene dos soluciones.
Puntos de control:
- P" proyección vertical de un punto
- Q' proyección horizontal de otro punto
- r radio de la esfera
04.2. Intersección de esfera con plano proyectante vertical
Dado un plano proyectante vertical definido por su traza vertical, la intersección en alzado con una esfera dadaserá una recta; en verdadera magnitud será, sin embargo, como se ha visto, siempre una circunferencia.
La proyección en planta de esta sección ser´auna proyección de una circunferencia oblicua al plano de proyección, y, por lo tanto, se verá representada como una elipse, cuyo eje mayor será paralelo a la recta horizontal del plano e igual al diámetro de la circunferencia (no necesariamente el de la esfera), pudiéndose obtener el menor de la sección en alzado.
Puntos de control:
- A", B" puntos de la traza vertical del plano
- r radio de la esfera
04.3. Intersección de esfera con plano genérico
Este problema, visto el anterior, carece de particular significación; su mayor complejidad reside en realizar un cambio de plano de proyección que permita ver el plano en cuestión como proyectante. Una vez hallados los puntos de este plano, trasladarlos al alzado original permite ver la circunferencia sección, vista como elipse en ambas proyecciones. Por ser la esfera una figura de revolución, también se podría obtener mediante un giro del plano alrededor del eje de la esfera, sin necesidad de volver a proyectar este.
Puntos de control:
- P'P", Q'Q", R'R" puntos que definen el plano
- r radio de la esfera
04.4. Esfera: Sombras propia y arrojada
Se busca ahora la sombra propia y arrojada de la esfera. Para hallar la primera de ellas, deberá determinarse la separatriz de luz y sombra; esta resulta ser la circunferencia máxima de la esfera que sea normal a la dirección de la luz. Por lo tanto, para determinarla basta hallar la sección de la esfera por un plano normal a la dirección de la luz que pase por su centro.
Para una mayor simplicidad, se puede resolver la construcción girando el rayo de luz sobre el eje vertical de la esfera de forma que se transforme en una recta frontal.
La sombra arrojada es la proyección de los puntos de la separatriz de luz y sombra sobre el plano dado; al ser la proyección oblicua de una circunferencia, resulta ser una elipse.
Puntos de control:
- a acimut de la dirección de la luz
- z inclinación de la dirección de la luz
- r radio de la esfera
04.5. Esfera: Sombra autoarrojada
Supongamos ahora una semiesfera hueca; en este caso, proyectará sombra autoarrojada sobre su cara interior.
Al igual que en el caso del cilindro y del cono, la separatriz de luz y de sombra de la sombra autoarrojada viene definida por los rayos que pasan por el borde de la semiesfera, que es una circunferencia, en su intersección con la propia esfera; estos rayos forman en sí mismos un cilindro que comparte una circunferencia con la esfera; por lo tanto, la intersección de esfera y cilindro serán, como en los casos anteriores, dos elipses (ahora ambas serán, de hecho, circunferencias; una de ellas será la circunferencia de borde, y la otra, la separatriz).
La solución se limita a hallar dicha intersección. Para hallar esta circunferencia debe considerarse que es de radio máximo, y uno de sus puntos viene dado por la sombra de un punto del borde de la semiesfera sobre la cara opuesta, en la sección por un plano proyectante horizontal paralelo a la dirección de la luz que contenga el centro de la esfera.
Puntos de control:
- a acimut de la dirección de la luz
- z inclinación de la dirección de la luz
- r radio de la esfera
04.6. Sombra de la hornacina
Una hornacina es un hueco en un paramento compuesto por un nicho semicilíndrico rematado por una bóveda en cuarto de esfera (bóveda de horno, o bóveda hornacina). El estudio de la sombra autoarrojada de este hueco es un problema clásico.
Dicha sombra se compone de tres partes:
a) Sombra autoarrojada del cuarto de esfera: es un fragmento de la sombra autoarrojada del hemisferio. Como se ha visto en el ejercicio anterior, su separatriz es una circunferencia, y, en proyección, una elipse. Su solución es idéntica a la anteriormente vista, intercambiando la proyección horizontal y la vertical.
b) Sombra arrojada del cuarto de esfera sobre el semicilindro: su separatriz es una curva alabeada sin definición específica. La forma de resolverla es obtener puntos dando secciones a la hornacina por planos proyectantes horizontales paralelos al rayo de luz.
c) Sombra autoarrojada del semicilindro: por ser la recta que define el borde del semicilindro paralela a todas las rectas que este contiene, la separatriz de esta parte de la sombra es una recta paralela a la dirección del cilindro, y contenida en un plano proyectante horizontal paralelo al rayo de luz y que pase por el borde.
Puntos de control:
- a acimut de la dirección de la luz
- z inclinación de la dirección de la luz
- r radio de la esfera
- h altura del cilindro