Tema 7: Paraboloide hiperbólico

Se denomina paraboloide hiperbólico a una superficie cuadrática reglada generada por una recta (generatriz) que se mueve apoyándose sobre otras dos rectas (directrices) manteniéndose paralela a un plano dado (plano director). Dadas dos generatrices cualesquiera y una directriz, se puede considerar también que el paraboloide hiperbólico se genera por el movimiento de dicha directriz, en paralelo a otro plano, apoyándose en las generatrices. Por lo tanto, los términos "generatriz" y "directriz" son intercambiables.

  1. Paraboloide hiperbólico en perspectiva militar
  2. Paraboloide hiperbólico. Punto en paraboloide
  3. Eje y contorno aparente del paraboloide
  4. Eje y contorno aparente en perspectiva militar
  5. Parábolas principales
  6. Intersección de paraboloide y plano
  7. Sombras propia, arrojada y autoarrojada de un paraboloide

07.1. Paraboloide hiperbólico en perspectiva militar 

Se muestra aquí un paraboloide hiperbólico dado en perspectiva militar. Como se puede ver, la forma más fácil de construir un paraboloide hiperbólico es a partir de un cuadrilátero alabeado cuya proyección en planta sea un paralelogramo; de este modo, sus cuatro lados, siendo paralelos, dos a dos respectivamente, a dos planos, pertenecerán a las familias de rectas generatrices y directrices. Trazando un plano paralelo a dos  lados y hallando su intersección con los otros dos lados se obtiene una recta perteneciente al paraboloide.

Puntos de control:
  • o: Orientación
  • w: Ángulo de los lados del paralelogramo planta
  • a,b: Semilados del paralelogramo planta
  • P,Q,R,S: Cotas de los vértices del cuadrilátero alabeado
  • A',B': Rectas generatriz y directriz
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07.2. Paraboloide hiperbólico. Punto en paraboloide 

De nuevo se muestra aquí el paraboloide, dado esta vez en proyección diédrica. Se verifica de nuevo todo lo indicado en 03.1. Asimismo se muestra aquí el método para situar un punto en el paraboloide dada su proyección en planta; esto es tan sencillo como contenerlo en un plano vertical que contenga una generatriz o una directriz. La obtención de la proyección en planta a partir del alzado es significativamente más compleja y no se muestra.

Puntos de control:
  • o: Orientación
  • w: Ángulo de los lados del paralelogramo planta
  • a,b: Semilados del paralelogramo planta
  • P",Q",R",S": Cotas de los vértices del cuadrilátero alabeado
  • A',B': Rectas generatriz y directriz
  • C': Proyección horizontal del punto
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07.3. Eje y contorno aparente del paraboloide

Se denomina eje del paraboloide a la recta vertical normal a su superficie. Corta al paraboloide, por lo tanto, en el punto de intersección de la directriz y la generatriz horizontales; este punto se denomina vértice del paraboloide.

Para hallar estas, se efectuará un cambio de plano perpendicular al plano que contiene a una de las familias. De este modo, en la intersección en dicho cambio de plano de dos de los lados del cuadrilátero estará contenida una recta de punta perteneciente al paraboloide; será esta una de las rectas buscadas. La otra se puede obtener hallando la intersección del plano horizontal que contiene a dicha recta con los otros dos lados del paraboloide.

Hallado el eje, procede ahora determinar el contorno aparente del paraboloide. Dicho contorno será una parábola contenida en un plano vertical, y tendrá por vértice la intersección del eje con el paraboloide. Los extremos del contorno aparente (puntos de tangencia de la parábola) serán la intersección de un lado del cuadrilátero con una recta de la familia contraria cuya proyección vertical sea la misma; por lo tanto, bastará con trazar, por el punto de intersección de las proyecciones verticales de ambos lados, un plano vertical de canto que dará este punto en sus dos posiciones en planta; trazando por dichos puntos paralelas a la familia contraria de rectas y hallando la intersección de estas con el otro lado respectivamente, se obtendrán dos puntos que definirán el plano vertical de contorno aparente y, trasladados al lazado, serán los puntos de tangencia de la parábola contorno.

La obtención de la forma del contorno aparente se puede hacer hallando la proyección vertical de puntos contenidos en dicho plano, que es una recta en planta.

Puntos de control:
  • o: Orientación
  • w: Ángulo de los lados del paralelogramo planta
  • a,b: Semilados del paralelogramo planta
  • P",Q",R",S": Cotas de los vértices del cuadrilátero alabeado
  • A': Recta generatriz
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07.4. Eje y contorno aparente en perspectiva militar 

Se da ahora la misma construcción en perspectiva militar.
Para hallar el eje, de nuevo hay que buscar las rectas horizontales del paraboloide. Para ello, se proyectará un lado del cuadrilátero sobre el plano vertical que contiene a su opuesto; hallando el punto de intersección de dicha proyección con aquel lado se obtiene un punto de la recta horizontal y, por lo tanto, dicha recta. Hallando análogamente la otra recta se obtienen los elementos necesarios para definir el eje.

En cuanto al contorno aparente, ahora estará contenido en un plano vertical, pero no tendrá un punto de tangencia en la intersección del eje con el paraboloide. Para hallarlo se considerará de nuevo, como en 04.3., que sus extremos son los puntos de intersección de los lados del paraboloide con las rectas de la familia contraria que estén superpuestas a ellos en la proyección oblicua que es la axonometría. Por lo tanto, se prolongarán dichos lados hasta que corten a los otros dos, y se trazarán sendos planos verticales que contengan esta prolongación. la intersección de estos planos con los lados iniciales dará los puntos de tangencia de la parábola contorno, y el plano vertical que la contiene. De nuevo, la obtención de la parábola  es posible hallando puntos de este último plano.

Puntos de control:
  • o: Orientación
  • w: Ángulo de los lados del paralelogramo planta
  • a,b: Semilados del paralelogramo planta
  • P,Q,R,S: Cotas de los vértices del cuadrilátero alabeado
  • A': Recta generatriz
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07.5. Parábolas principales

El paraboloide hiperbólico, además de como una superficie reglada dada por las generatrices y las directrices,  se puede entender como una superficie de traslación obtenida por el desplazamiento, una a lo largo de la otra, de dos parábolas contenidas en sendos planos verticales perpendiculares entre sí y denominadas parábolas principales. Dichos planos serán paralelos a los planos bisectores de las rectas horizontales del paraboloide.

Cuando las parábolas estén contenidas en dichos planos bisectores, sus vértices y sus ejes coincidirán entre sí y con los del paraboloide.

Puntos de control:
  • o: Orientación
  • w: Ángulo de los lados del paralelogramo planta
  • a,b: Semilados del paralelogramo planta
  • P,Q,R,S: Cotas de los vértices del cuadrilátero alabeado
  • A': Recta generatriz
  • B': Punto en el paraboloide
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07.6. Intersección de paraboloide y plano

Se da ahora la intersección del paraboloide con un plano cualquiera definido por tres puntos. Su cálculo es trivial, aunque laborioso, y se reduce a un conjunto de intersecciones de recta y plano.

Es interesante la observación de las diferentes secciones planas del paraboloide hiperbólico. La sección por un plano vertical dará siempre una parábola, que será principal si el plano es paralelo a uno de los planos bisectores. Si el plano es paralelo a una de las familias de rectas, la parábola degenerará en una recta de dicha familia.

Si el plano no es vertical, la intersección será una hipérbola, que resultará equilátera si el plano es horizontal. Si dicho plano horizontal contiene el vértice, la hipérbola degenerará en dos rectas perpendiculares; en general, degenerará en dos rectas siempre que el plano sea tangente al paraboloide.

Puntos de control:
  • o: Orientación
  • w: Ángulo de los lados del paralelogramo planta
  • a,b: Semilados del paralelogramo planta
  • P",Q",R",S": Cotas de los vértices del cuadrilátero alabeado
  • A': Recta generatriz
  • M'M",N'N",O'O": Puntos del plano
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07.7. Sombras propia, arrojada y autoarrojada de un paraboloide 

Para obtener las sombras propia, arrojada y autoarrojada del paraboloide hiperbólico, el procedimiento más cómodo es partir de la sombra propia. Esta se determina proyectando el cuadrilátero alabeado sobre el plano del suelo y hallando el contorno aparente de dicha proyección; por tratarse de una proyección oblicua, el procedimiento será el mismo que el empleado para un paraboloide en axonometría.

Retroproyectando este contorno aparente a la planta del paraboloide, se obtendrá la sección de este por un plano vertical; este plano será la divisoria de luz y de sombra de la sombra propia; siendo el paraboloide una superficie sin grosor, las partes de una de las caras que estén en luz serán las que estén en sombra de la otra.

Dado un vértice del paraboloide, puede ocurrir que produzca sombra autoarrojada sobre la superficie de él. En este caso, para determinarla, se deberá hallar la intersección del rayo de luz que contenga ese vértice con la superficie del paraboloide; esta resultará estar dada por la intersección de la directriz y la generatriz que pasan por los extremos de la divisoria de luz y de sombra y, por lo tanto, estas dos rectas formarán el contorno de la sombra autoarrojada.

Puntos de control:
  • o: Orientación
  • w: Ángulo de los lados del paralelogramo planta
  • a,b: Semilados del paralelogramo planta
  • P",Q",R",S": Cotas de los vértices del cuadrilátero alabeado
  • A': Recta generatriz
  • a,h: Dirección de la luz (acimut, pendiente)
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