Tema 9: Perspectiva axonométrica ortogonal


La perspectiva es un sistema de representación de los objetos en el espacio tridimensional mediante su proyección sobre un plano. Dicha proyección puede ser paralela, es decir, proyectándose todos los puntos del espacio sobre el plano mediante rectas paralelas entre sí, o cónica, es decir, proyectándose dichos puntos mediante rectas que se cortan todas en un punto.

Se denomina perspectiva axonométrica al sistema de representación basado en la proyección paralela de los objetos sobre un plano. Si dicha proyección es ortogonal al plano, se habla de perspectiva axonométrica ortogonal; de lo contrario, se habla de perspectiva axonométrica oblicua. En este capítulo nos centraremos en la perspectiva axonométrica ortogonal.

Geométricamente hablando, la perspectiva axonométrica ortogonal es equivalente a una de las proyecciones del sistema diédrico de representación. Sin embargo, las estrategias empleadas en cada uno de ellos para simular la ilusión de tridimensionalidad o, dicho de otra manera, dar información sobre las tres dimensiones de un objeto, son diferentes.

En el caso del sistema diédrico, se busca tener la mayor cantidad de elementos posible paralelos a los planos de proyección, de forma que se vea representada la verdadera magnitud de dichos elementos y estos sean, por lo tanto, más cómodos de operar; la dificultad de visualización que sigue de esto se compensa utilizando múltiples proyecciones. En la axonometría ortogonal, lo que se busca es que ninguno de los elementos de la figura sea paralelo al plano de proyección, de modo que la percepción de tridimensionalidad se vea reforzada; de este modo, si la figura se remite a tres ejes ortogonales entre sí, se buscará que el plano de proyección sea oblicuo a los tres ejes, si bien es geométricamente legítima la construcción en la que sea paralelo a ellos.

  1. Determinación de la escala de los ejes
  2. Abatimiento de los ejes por el plano proyectante
  3. Representación de dos cubos
  4. Representación de una figura de caras ortogonales
  5. Representación de la esfera

09.1. Determinación de la escala de los ejes

Dado un conjunto de ejes coordenados ortogonales entre sí representados en axonometría ortogonal, estos no tienen que formar entre sí un ángulo determinado; sin embargo, debido a que son proyección de ejes ortogonales entre sí en el espacio, están sometidos a la limitación de que dos cualesquiera de entre ellos no pueden formar entre sí un ángulo menor de 90º (ya que, si estos dos ejes forman un ángulo de 90º en el espacio, el menor ángulo que pueden formar sus proyecciones, obtenido cuando ambos ejes sean paralelos al plano de proyección, es de 90º); como consecuencia de esto, tampoco pueden formar un ángulo de 180º.

Dados unos ejes cualesquiera, para representar correctamente una figura en perspectiva axonométrica ortogonal se debe buscar la relación de escala entre los ejes; es decir, ya que cada uno de ellos es proyección de un eje en el espacio que forma un ángulo diferente con el plano de proyección, si se sitúa un segmento igual sobre cada uno de los ejes del espacio, su proyección tendrá una medida diferente.

El procedimiento para hallar las medidas de este segmento cualquiera sobre cada uno de los ejes es el siguiente:

a)      Se toma un punto al azar sobre uno de los ejes.
b)      Se trazan por este punto perpendiculares a los otros dos ejes.
c)      Por la intersección de una de estas perpendiculares con uno de los otros ejes, se traza una perpendicular al eje inicial. Hemos obtenido un triángulo cuyos vértices están sobre los ejes y cuyo ortocentro es el origen de los ejes.
d)      En realidad, hemos seccionado el triedro formado por los ejes por un plano paralelo al plano de proyección.
e)      Se traza, sobre cada uno de los lados del triángulo, una semicircunferencia de diámetro el lado. Se halla la intersección de esa semicircunferencia con la prolongación del eje opuesto y se trazan dos semirrectas (en la figura y por comodidad, segmentos) que pasen por ese punto y por cada uno de los extremos del lado del triángulo.
f)        Lo que hemos hecho es, en cada caso, abatir los dos ejes correspondientes sobre el plano de proyección para verlos en verdadera magnitud. Como sabemos que son ortogonales entre sí, hemos colocado el origen sobre una semicircunferencia para que el triángulo resultante sea rectángulo. Lo que se está haciendo ahora sigue las reglas del abatimiento que se han visto para el sistema diédrico.
g)      Se coloca ahora, sobre cada uno de los segmentos resultantes (al haber dos correspondientes a cada eje, con tres de ellos será suficiente), la medida de un mismo segmento arbitrario, que tomaremos como unidad, en verdadera magnitud.
h)      Se proyecta este segmento sobre el eje correspondiente trazando una perpendicular al lado del triángulo.
i)        Simplemente, se trata de devolver  una medida en verdadera magnitud sobre el abatimiento a la figura proyectada.
j)        Ya se tiene determinada la escala de los ejes.

A partir de ahora, las medidas de los elementos paralelos a cada eje deberán ser proporcionales a las relaciones entre la longitud de las unidades que hemos hallado para cada eje. Si se considera 1 el valor de la unidad en verdadera magnitud, la relación de proporción entre la unidad sobre un eje y la unidad en verdadera magnitud se denomina coeficiente de reducción, y es el valor por el que hay que multiplicar las medidas en verdadera magnitud para representarlas sobre ese eje. El valor del coeficiente de reducción es siempre menor o igual que 1.

Si los ángulos entre los ejes tienden a ser iguales, la relación entre las unidades de los ejes tiende a ser de 1:1:1, y su relación con el la unidad en verdadera magnitud es de 2:3, es decir, se aplica a todas las medidas paralelas a los ejes un coeficiente de reducción de 0,66. Por comodidad, en este caso no se suele aplicar coeficiente de reducción alguno. Esto se denomina perspectiva isométrica.

Si dos de los ángulos entre ejes son iguales, la relación entre las unidades sobre dos de los ejes será de 1:1. Esto se denomina perspectiva dimétrica.

Si los tres ángulos son diferentes (caso general) se habla de perspectiva trimétrica.

Si uno, y sólo uno, de los ángulos entre ejes tiende a 90º, el coeficiente de reducción sobre estos ejes tiende a 1, y sobre el tercero tiende a 0. Se trata de una proyección paralela a una de las caras.

 Puntos de control:
  • wX, wY: ángulos de los ejes
  • u: unidad de los ejes

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09.2. Abatimiento de los ejes por el plano proyectante

Se presenta aquí un procedimiento alternativo para determinar la escala de los ejes. Si en el método anterior se abatían los planos coordenados por una charnela dada por su intersección por el plano de proyección, el procedimiento usado en este otro método es el de abatir planos proyectantes que contengan a los ejes coordenados. Para ello, se emplea el siguiente método:
 

a)      Se toma un punto al azar sobre uno de los ejes.
b)      Se trazan por este punto perpendiculares a los otros dos ejes.
c)      Por la intersección de una de estas perpendiculares con uno de los otros ejes, se traza una perpendicular al eje inicial. Hemos obtenido un triángulo cuyos vértices están sobre los ejes y cuyo ortocentro es el origen de los ejes.
d)      En realidad, hemos seccionado el triedro formado por los ejes por un plano paralelo al plano de proyección.
e)      Se traza una de las alturas del triángulo antes trazado. Esta altura coincide con la proyección del eje, y con la de la línea de máxima pendiente del plano proyectante.
g)      Se abate el plano proyectante tomando como charnela dicha altura. Puesto que la línea de máxima pendiente del plano es perpendicular al eje, la proyección de ambos deberá ser un triángulo rectángulo. Por tanto, se traza una circunferencia con centro en el punto medio de la altura y se proyecta sobre ella el origen de los ejes en perpendicular a la altura. El triángulo determinado por este punto será la proyección en verdadera magnitud de un eje, y la proyección de canto de su plano perpendicular (del cual los ejes no resultan en verdadera magnitud).
h)      Sobre el eje en verdadera magnitud, se sitúa la medida buscada. Para devolverla al eje, basta con trazar una perpendicular a él que pase por este punto, es decir, desabatirlo.

Se deben hallar por separado las unidades de los tres ejes.

 Puntos de control:
  • wX, wY: ángulos de los ejes
  • u: unidad de los ejes

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09.3 Representación de dos cubos

Esta figura se da como ejemplo de aplicación de lo anterior. Se representa un cubo macizo con un hueco cúbico excavado a partir de uno de sus vértices. Sobre uno de los abatimientos se dan los cubos en verdadera magnitud.

Al rotar el cubo se verifican las relaciones de proporción entre los lados explicadas antes.

 Puntos de control:
  • wX, wY: ángulos de los ejes
  • u: unidad de los ejes
  • a,b: lados de los cubos lleno y vacío.

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09.4. Representación de una figura de caras ortogonales

Este es un caso más general de lo anterior, en el que las medidas de los lados no son iguales. De nuevo se da la figura en verdadera magnitud sobre el abatimiento de los ejes.

  Puntos de control:
  • wX, wY: ángulos de los ejes
  • u: unidad de los ejes
  • a,b,c,d,e: dimensiones de la figura

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09.5. Representación de la esfera

En este caso, se representa una esfera y sus secciones por los planos paralelos a los coordenados que pasan por su centro, con el objetivo de explicar la representación de circunferencias y superficies esféricas en axonometría ortogonal.

Al ser una axonometría ortogonal, la proyección de la esfera es la intersección de un cilindro tangente a la esfera por un plano perpendicular al cilindro. Por lo tanto, cualesquiera los ejes, el contorno de la esfera será una circunferencia, de radio el de la esfera.
 
Las circunferencias sección de la esfera, al no ser paralelas al plano de proyección, se verán representadas como elipses. Para dibujar las que pasan por el centro y son paralelas a los planos coordenados, se lleva a partir de él, en paralelo a los tres ejes, el radio de la esfera en ambos sentidos. Esto dará los diámetros conjugados de las elipses (en la figura, para su mejor visualización, se ha representado un cuadrado circunscrito a dichas circunferencias trazando paralelas a los ejes por el extremo de los diámetros conjugados). Las elipses resultantes serán tangentes internas a la esfera, y su eje mayor será el diámetro de esta.

 Puntos de control:
  • wX, wY: ángulos de los ejes
  • u: unidad de los ejes
  • a: diámetro de la esfera (cubo circunscrito)
  • b: sección plana de la esfera

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