- Distancia entre dos puntos
- Recta perpendicular a un plano
- Abatimiento de un plano
- Tercera proyección de una recta
- Transformación de plano en plano proyectante
La distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio no está representada en sistema diédrico en verdadera magnitud; sin embargo, no es difícil obtenerla a partir de las dos proyecciones de estos puntos. Considerando que se representan en verdadera magnitud los segmentos paralelos a los planos de proyección, y dado uno que no lo sea, se puede dibujar este como hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos sean un segmento horizontal y uno vertical. Dado que estos se verán en verdadera magnitud en proyección horizontal y vertical respectivamente, bastará ahora con representar estos dos catetos sobre el plano y, la hipotenusa que será la distancia entre los puntos en verdadera magnitud. De dichos catetos, el vertical coincidirá con la diferencia de cotas entre los puntos, y el horizontal, con la proyección horizontal del segmento que los une.
Puntos de control:
- P’1P'2, Q’1Q'2 puntos en proyección horizontal y vertical.
01.2: Recta perpendicular a un plano
En esta construcción se busca hallar una recta perpendicular a un plano dado por un punto de este plano (la construcción por un punto cualquiera del espacio no sería muy diferente). Para ello, se debe tener en cuenta que todos los planos que contienen una recta perpendicular a un plano dado lo son a éste a su vez; por lo tanto, también lo serán el plano proyectante horizontal y el proyectante vertical que contengan a la recta y, en consecuencia, dicha recta será la intersección de estos planos. Ahora bien, un plano proyectante horizontal perpendicular al plano ha de serlo a sus rectas horizontales necesariamente, y su traza horizontal será perpendicular a ellas. Igualmente ocurrirá con el plano proyectante vertical y sus rectas frontales. Finalmente, puesto que todas las rectas contenidas en un plano proyectante horizontal (vertical) coinciden en su proyección horizontal (vertical) con la traza horizontal (vertical) del plano, sucederá que las proyecciones de la recta coincidirán con la traza horizontal del plano proyectante horizontal y la traza vertical del plano proyectante vertical. En la práctica, esto se resume en que las proyecciones de la recta han de ser perpendiculares a una recta horizontal de plano, en proyección horizontal, y a una frontal de plano, en proyección vertical, que pasen por el punto.
Puntos de control:
- P’1P'2, Q’1Q'2, R’1R'2 puntos que definen el plano
- A’1A'2 punto sobre el plano
01.3: Abatimiento de un plano
El abatimiento de un plano es uno de los procedimientos empleados, junto con los cambios de plano y los giros, para obtener en verdadera magnitud un plano y, en consecuencia, todas las distancias contenidas en él. Este método consiste en hallar en el plano una recta paralela a uno de los planos de proyección, denominada charnela, y emplear dicha recta como eje de un giro por el cual el plano se dispone paralelo al plano de proyección en cuestión. En dicha proyección, el plano original y el abatido establecen entre si una relación de afinidad cuyo eje es la charnela. Para realizar el abatimiento, se determina en primer lugar una recta horizontal (frontal) de plano; resulta práctico hacerla pasar por uno de los puntos que lo definen. La relación en proyección horizontal (frontal) entre un punto y su abatido es de afinidad; por lo tanto, el punto abatido se hallará sobre la perpendicular a la charnela que pase por la proyección horizontal del punto. Para hallar la distancia a la que se encuentra, bastará con llevar sobre esta perpendicular, desde la charnela, la distancia en verdadera magnitud del punto a la charnela (ver ejercicio 01.1). Se puede ejecutar este procedimiento para los tres puntos que definen el plano; sin embargo, sólo es necesario hacerlo con uno, ya que al haber tomado la charnela coincidente con uno de ellos este resulta coincidente con su abatido, y el tercero se puede hallar fácilmente por afinidad.
Puntos de control:
- P’1P'2, Q’1Q'2, R’1R'2 puntos que definen el plano
01.4: Tercera proyección de una recta
Dada cualquier figura representada en dos proyecciones, se puede representar la misma mediante una tercera proyección; esto se denomina cambio de plano de proyección y tiene numerosas utilidades derivadas, fundamentalmente, de la posibilidad de obtener elementos en verdadera magnitud mediante dicho cambio de plano, como se verá más adelante.
El cambio de plano de proyección se suele realizar de forma que el nuevo plano sea, o bien un nuevo plano frontal (por lo tanto, proyectante horizontal), o bien un nuevo plano horizontal (por lo tanto, proyectante vertical). Por facilidad de visualización, se suele preferir el primero.
En este caso se va a establecer la tercera proyección de una recta, que es la construcción más sencilla para la que esta no es trivial. Para ello, se hallará la tercera proyección de dos de sus puntos.
Ahora bien, sucede que, dado un punto en sus dos proyecciones y un punto cualquiera del plano de representación, existe siempre un plano de proyección (de hecho, una familia de planos paralelos) tal que dicho punto es la tercera proyección del anterior. Por lo tanto, la posición de un punto cualquiera en tercera proyección nos puede servir para definir la dirección de proyección, que es normal a dicho plano y paralela a la recta que une la proyección horizontal (vertical) con la tercera proyección vertical (horizontal).
Habida cuenta de que la nueva proyección es una proyección vertical (horizontal), la diferencia de cotas entre dos puntos será la misma que en la proyección vertical (horizontal) original; esto nos permitirá hallar fácilmente el otro punto que define la recta en la nueva proyección.
Puntos de control:
- P’1P'2, Q’1Q'2, puntos que definen la recta
- P'3, tercera proyección de un punto
01.5: Transformación de plano en plano proyectante
En este ejercicio se busca, dado un plano cualquiera, efectuar el cambio de plano de proyección que lo convierta en un plano proyectante. Por facilidad de visualización, se suele realizar un cambio de la proyección vertical. Dado que las rectas horizontales de un plano proyectante vertical son perpendiculares al plano de proyección, bastará con hallar una recta horizontal de plano para obtener la línea de tierra, que será perpendicular a la proyección horizontal de esta; a partir de ella, las cotas de los puntos serán las mismas que en la proyección horizontal original, y dichos puntos, en proyección, se hallarán alineados. La principal aplicación de este problema se halla en el cálculo de intersecciones de figuras con planos, que se simplifica enormemente si el plano es proyectante.
Puntos de control:
- P’1P’2, Q’1Q’2, R’1R’2 puntos que definen el plano.